从三维旋转到欧拉角

首先三维旋转绕某个轴旋转，已经知道是这样的了。

那么就可以通过对3个轴的旋转分别描述，来实现复杂的旋转角。这3个旋转角就叫做欧拉角。

罗德里格斯旋转公式

一个公式，来实现绕轴n旋转α角度。轴n的定义为起点为原点，方向为n。

// TODO

由于用旋转矩阵来做平滑插值并不合理（旋转20°矩阵和旋转50°矩阵的平均值并不是旋转35°），并且存在万向锁问题，所以引入四元数。games101不展开。

Model-View-Projection 模型-视图-投影变换：将3D的模型（Model）投影到2D的屏幕（View）上。

先定义相机的 位置 Position、朝向 Look-at、向上方向 Up direction（与朝向垂直，用于确定相机本身的旋转角）。

视图结果是相对不变的，当物体和相机的移动方式完全一致、没有相对运动时，成像不变。

我们定义一个Position在原点，Look-at在 -Z，Up direction在 Y的相机作为默认相机。

以后就可以将其他相机移成标准相机、然后再做变换、最后移回就实现了相机旋转。

投影是说3D转到2D屏幕的过程。首先分2种，正交投影和透视投影 Perspective。

正交不会有近大远小、每个平行边也不会有交点，但透视都会有。

定义6个点，就可以描述一个3维的长方体：

x轴：left => right ；y轴：buttom => top ；z轴：fear => near 。

注意z轴，因为上面所有的=>指的都是右手坐标系的负=>正，near离我们更近、被定义为正值。

OpenGL用的是左手坐标系，全部相反。

上图的过程就是标准化，也就是将一个长方体变成一个中心点为原点，6个点为-1、1的正方体。标准化的好处是能够更好做正交相机的投影。

标准化的变换矩阵如下，将长度定为2是为了满足(-1,1)。

近大远小、平行线会相交。这是因为不同平面内的线投影到一个平面，会有交点。

(x,y,z,1) 和 (kx,ky,kz,k) 表示的是同一个点。

要实现一个透视投影变换，拆成2步：1.将透视投影相机视锥，挤成一个长方体（正交相机视锥）；2.将得到的长方体进行正交投影。

第二步的做法已经在正交投影里写了，那么关键就是第一步怎么做，其实就是乘以一个 透视=>正交的拉伸矩阵M。

这个矩阵M（4x4）的推导如下：

1.近似三角形可推导出除了第三行以外的所有矩阵

2.性质：近平面点挤压后，点坐标的x,y,z都不变（相机的近平面，就是最终2d屏幕的大小）

3.性质：远平面点挤压后，点坐标的z不变（z轴是深度，想象一下拉伸后，远平面的深度不会变）

4.根据性质2、3可以推导出矩阵的第三行

具体推导看第四章的PPT p29-36吧，这里把主要的近似三角形概念图放下来，结合上面的拉伸概念图可以自己推导了：

最后4x4的透视=>正交的拉伸矩阵M：

n 0 0 0
0 n 0 0
0 0 n+f -nf
0 0 1 0